Questão 6111
ITA 1998
(ITA -1998) Seja f: →
a função definida por
Então:
f é ímpar e periódica de período .
f é par e periódica de período /2.
f não é par nem ímpar e é periódica de período .
f não é par e é periódica de período /4.
f não é ímpar e não é periódica.
Gabarito:
f não é par nem ímpar e é periódica de período .
Resolução:
Isto é válido para todo x real. Então, para x = 0:
Desta equação final temos que:
ou
Se , então:
. Como isto é Absurdo, então temos que
é a raiz correta.
Suponha k ímpar: primeiramente k = 1 => , então
Este resultado acima não acontece para todo x real. Logo, o descartamos. Repare que se continuarmos este processo para qualquer k ímpar obtemos valores opostos entre e
:
Suponha k = 2n + 1, n inteiro qualquer (k = 2n + 1 é o formato de um número ímpar qualquer), logo . Então:
Independendo do n, teremos os seguintes resultados:
e
Logo,
Resultado este que não é obtido para todo x real.
Logo, temos que , sendo
, portanto, o período de
.
SOLUÇÃO ALTERNATIVA:
Da função:
- Para
, temos:
, já que
e
, então
e
.
Daí,
Repare que(o que significaria que a função seria par se a igualdade existisse) e nem
(o que significaria que a função seria ímpar se a igualdade existisse). Logo, f não é par nem ímpar.
- Para descobrirmos a periodicidade desta função, vamos somar os parâmetros "2x" com p, sendo p um número real.
Se p é o período da função então a relaçãoe p deve ser o menor real possível tal que esta relação seja verdadeira. Daí:
Para que esta expressão acima fique parecido com, vamos colocar o 2sen(2x) e cos(2x) em evidência:
Para queseja igual a
.
É fácil ver que,é o menor real positivo tal que a equação logo acima é verdadeira (só pensar na equação acima no ciclo trigonométrico. Entre 0 e
não p possível).
Logo,
A alternativa correta é, portanto, a Letra C.