Questão 7993

ITA 1997

Matemática

(Ita 1997) Sejam p₁(x), p₂(x) e p₃(x) polinômios na variável real x de graus n₁, n₂ e n₃, respectivamente, com n₁>n₂>n₃. Sabe-se que p₁(x) e p₂(x) são divisíveis por p₃(x). Seja r(x) o resto da divisão de p₁(x) por p₂(x). Considere as afirmações:

(I) r(x) é divisível por p₃(x).

(II) p₁(x) - $frac{1}{2}$ p₂(x) é divisível por p₃(x).

(III) p₁(x) r(x) é divisível por [p₃(x)]².

Então,

apenas (I) e (II) são verdadeiras.

apenas (II) é verdadeira.

apenas (I) e (III) são verdadeiras.

todas as afirmações são verdadeiras.

todas as afirmações são falsas.

Gabarito:

todas as afirmações são verdadeiras.

Resolução:

Seja

$q_{1}(x)=frac{p_{1}(x)}{p_{3}(x)}$ , $q_{2}(x)=frac{p_{2}(x)}{p_{3}(x)}$ e, como r(x) é o resto da divisão de $p_{1}(x)$ por $p_{2}(x)$ , vamos escrever $r_{}(x)=p_{1}(x)-p_{2}(x).y_{}(x)$ .

Da afirmativa I) temos que :

$frac{r_{}(x)}{p_{3}(x)}=frac{p_{1}(x)-p_{2}(x).y_{}(x)}{p_{3}(x)}=frac{p_{1}(x)}{p_{3}(x)}-frac{p_{2}(x).y_{}(x)}{p_{3}(x)}{p_{3}(x)}= q_{1}(x)-q_{2}(x)y_{}(x)$ , que é um polinômio, Portanto a afirmativa é verdadeira.

Da afirmativa II)

$frac{p_{1}(x)- frac{1}{2}p_{2}(x)}{p_{3}(x)}= frac{p_{1}(x)}{p_{3}(x)}-frac{1}{2}frac{p_{2}(x)}{p_{3}(x)}= q_{1}(x)-frac{1}{2}q_{2}(x)$ , que é um polinômio. Afirmativa verdadeira.

Da afirmativa III) temos que:

$frac{p_{1}(x)r_{}(x)}{p_{3}(x)p_{3}(x)}= frac{p_{1}(x)}{p_{3}(x)}frac{r_{}(x)}{p_{3}(x)}= q_{1}(x).(q_{1}(x)-q_{2}(x)y_{x}(x))=q_{1}^{2}(x)-q_{1}(x)q_{2}(x)y_{}(x)$ , que é um polinômio. Afirmativa verdadeira.

Obs.: quando digo que tal termo é um polinômio, quero dizer que toda multiplicação de dois polinômios, soma ou subtração de polinômios, também é um polinômio. Também toda multiplicação de um número real por um polinômio, também é um polinômio.

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