Questão 12601
ITA 1997
(Ita 1997) Seja S o conjunto de todas as raízes da equação 2x6 - 4x5 + 4x - 2 = 0. Sobre os elementos de S podemos afirmar que
todos são números reais.
4 são números reais positivos.
4 não são números reais.
3 são números reais positivos e 2 não são reais.
3 são números reais negativos.
Gabarito:
3 são números reais positivos e 2 não são reais.
Resolução:
É fácil perceber que 1 e -1 são raízes do polinômio. Sendo assim, podemos dividi-lo por (x-1) e (x+1) para diminuir seu grau:
Dividindo novamente:
Para resolver essa equação recíproca, dividimos o polinômio por x2:
Podemos agrupar os termos que têm x2 e x, colocando em evidência:
Chamando de t, podemos escrever
em função de t também:
Logo:
Portanto, a equação fica:
Encontrando as raízes, temos:
Voltando para a variável x, temos:
_________________________
Para t' temos:
Como é maior que 1, então o delta é positivo, portanto essa equação tem duas soluções reais.
Dessas soluções:
Como é maior que
então ambas as raízes dessa equação são reais e positivas.
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Para t'' temos:
Como delta é negativo, essa equação tem duas soluções não reais (complexas).
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Portanto, a equação possui 3 raízes reais positivas (uma delas o "1" e as outras duas das raízes de t') e 2 raízes complexas (soluções de t'').