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Questão 4697

ITA 1994
Física

(ITA- 1994) Um fio de comprimento L oferece resistência elétrica R. As pontas foram soldadas formando um círculo. Medindo a resistência entre dois pontos que compreendam um arco de círculo de comprimento x < L/2 verificou-se que era R1. Dobrando o comprimento do arco a resistência R2 será:

A

R2 = R1 (L - 2x)/(L - x)

B

R2 = 2R1 (L - 2x)/(L - x)

C

R2 = 2R1 (L2 - 4x2 )/(L2 - 3L x - 4x2 )

D

R2 = 2R1 (L - 2x)2 /[(L - 4x)(L - x)]

E

R2 = R1 (L + 2x)/(L - x)

Gabarito:

R2 = 2R1 (L - 2x)/(L - x)



Resolução:

Sempre que se escolhe dois pontos de uma circunferência, estaremos dividindo-a em dois arcos cuja soma dos comprimentos é L.

A resistência de cada arco é diretamente proporcional ao seu comprimento.

Sendo assim, cada arco formado tem uma resistência própria e a resistêcia equivalente entre os pontos é a associação em paralelo destas.

Para o primeir caso citado no enunciado teremos r_1 = frac{xR}{L} e r_1' = frac{(L-x)R}{L}, tal que R_1 = frac{r_1cdot r_1}{r_1+r_1}.

Portanto, R_1 = frac{frac{x(L-x)R^2}{L^2}}{R}.

Simplificando, obtemos:

R_1 =frac{x(L-x)R}{L^2}.

Para encontrarmos R2 a análise é análoga, tal que r_2 =frac{2xR}{L} e r_2' =frac{(L-2x)R}{L}.

Sendo assim, obtemos R_2 =frac{frac{2x(L-2x)R^2}{L^2}}{R}.

Simplificando: R_2 =frac{2x(L-2x)R}{L^2}.

Vamos fazer alguns algebrismos para que consigamos encontrar a relação de R2 e R1:

R_2 =frac{2x(L-2x)R}{L^2}cdotfrac{(L-x)}{(L-x)}.

R_2 =frac{2x(L-2x)R(L-x)}{L^2(L-x)}.

Podemos separar a expressão acima assim:

R_2 =frac{x(L-x)R}{L^2}cdot frac{2(L-2x)}{(L-x)}.

Podemos notar, então, que R_2 =frac{2R_1(L-2x)}{(L-x)}.

Alternativa B.

 

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