Questão 6856

ITA 1992

Matemática

(ITA - 1992) Num triângulo ABC, retângulo em , temos = 60º. As bissetrizes destes ângulos se encontram num ponto D. Se o segmento de reta BD mede 1 cm. então a hipotenusa mede:

n. d. a.

Gabarito:

Resolução:

Resolução 1:

Seja r o raio da circunferência inscrita no triângulo retângulo ABC.

No triângulo retângulo BED, temos:

$egin{array}{l}{operatorname{sen} 30^{circ}=frac{r}{1} herefore r=frac{1}{2}} \ {cos 30^{circ}=frac{y}{1} herefore y=frac{sqrt{3}}{2}}end{array}$

No triangulo retângulo ABC, temos

$hat{C}=30^{circ} ;e; overline{A B}=r+y=frac{1+sqrt{3}}{2}$

Sendo

$operatorname{sen} 30^{circ}=frac{overline{A B}}{overline{B C}}$

$frac{1}{2}=frac{frac{1+sqrt{3}}{2}}{overline{B C}} herefore$

$overline{B C}=(1+sqrt{3})$ cm

Resolução 2:

$\\ ext{Seja D a projeção de D sobre o lado } AB ext{. Veja que:} \\ (i) ext{ o triângulo } BDD ext{ é do tipo 30, 60, 90, logo:} \\ DD=frac{1}{2};cm ext{ e } BD=frac{sqrt{3}}{2};cm\\ (ii) ext{ o triângulo } ADD ext{ é isósceles retângulo, logo:} \\ AD=DD=frac{1}{2};cm\\ ext{Dessa forma, segue que o lado } AB ext{ do triângulo } ABC ext{ é:} \\ AB=Ad+BD;; herefore;;AB=frac{1+sqrt{3}}{2};cm\\ (iii) ext{ Como o triângulo } ABC ext{ é do tipo 30, 60, 90 também, segue, por fim, que:} \\ oxed{BC=1+sqrt{3};cm}$

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