Questão 5904
ITA 1987
(ITA 1987) Sejam F e G dois subconjuntos não vazios de . Assinale a alternativa correta.
Se F⊂ G e G ≠ F, então necessariamente F = F ∪ G.
Se F ∩ G é o conjunto vazio, então necessariamente F ∪ G = IR
Se F ⊂ G e G ⊂ F então F ∩ G = F ∪ G
Se F ∩ G = F, então necessariamente G ⊂ F
Se F ⊂ G e G ≠ IR, então (F ∩ G) ∪ G = IR
Gabarito:
Se F ⊂ G e G ⊂ F então F ∩ G = F ∪ G
Resolução:
a)
: se x ∈ F, então, necessariamente x ∈ G
-
, se y ∈ G, y não pertence, necessariamente, à F
. Ou seja,
, pois
Apenas para facilitar a compreensão, utilizaremos o diagrama de Venn (lembrar que o uso do diagrama não é indicado para a parte discursiva das provas):
b)
- F e G são subconjunto não vazios de ℝ, além disso, F e G são disjuntos, ou seja, não possuem intersecção. Agora, pensemos num exemplo numérico:
F = {1, π, 8}
G = {0, 7}
F ∪ G = {0, 1, π, 7, 8} ≠ ℝ
c)
: se x ∈ G, então, necessariamente x ∈ F
Ou seja, F = G, logo possuem todos os elementos em comum, com isso, F Ո G = F ∪ G = F = G
d)
- Se F Ո G = F, então todos os elementos de F estão em G, ou seja, F ⊂ G
e) Se F ⊂ G, então F Ո G = F (vide alternativa (d)). Ou seja, (F Ո G) ∪ G = F ∪ G = G (vide alternativa (a)), mas G ≠ ℝ, então F ∪ G = G ≠ ℝ