Questão 6153
ITA 1986
(ITA -1986) Consideremos as seguintes afirmações sobre uma função f: R → R.
- Se existe x ∈ R tal que f(x) ≠ f(-x) então f não é par
- Se existe x ∈ R tal que f(-x) = - f(x) então f é ímpar
- Se f é par e ímpar então existe x ∈ R tal que f(x) = 1
- Se f é ímpar então fof (f composta com f) é ímpar
Podemos afirmar que estão corretas as afirmações de números
1 e 4
1, 2 e 4
1 e 3
3 e 4
1, 2 e 3
Gabarito:
1 e 4
Resolução:
DEFINIÇÕES:
- uma função f é par se f(x) = f(-x) para TODO x pertencente ao domínio de f
- uma função f é ímpar se f(-x) = -f(x) para TODO x pertencente ao domínio de f
Com as definições em mente, vamos a questão:
- Se existe x ∈ R tal que f(x) ≠ f(-x) então f não é par
Verdadeira, vide definição
- Se existe x ∈ R tal que f(-x) = - f(x) então f é ímpar
Falsa, pois para ser ímpar f(-x) = -f(x) para TODO x do domínio de f. Note que é dito "se existe x ∈ R..." ou seja, existe algum x tal que f(-x) = -f(x), mas isso não garante que
f(-x)=-f(x) PARA TODOS OS ELEMENTOS DO DOMÍNIO!!!
- Se f é par e ímpar então existe x ∈ R tal que f(x) = 1
f é par f(-x) = f(x) para TODO x pertencente ao domínio de f
f é ímpar f(-x) = -f(x) para TODO x pertencente ao domínio de f
f(x) = 1, como f é par --->> f(-x) = 1 (I)
f(x) = 1 ---->> -f(x) = -1, como f também é ímpar ---->> f(-x) = -f(x) = -1 (II)
Mas de (I) vimos que f(-x) = 1 e em (II) vimos que f(-x) = -1 1, portanto NÃO existe f(x) par e ímpar, tal que f(x) = 1
- Se f é ímpar então fof (f composta com f) é ímpar
f é ímpar ---->> f(-x) = -f(x)
f(f(x)) = fof
f(f(-x)) = f(-f(x)) = -f(f(x))
.:. f(-f(x)) = -f(f(x)) logo, fof é ímpar.