Questão 6595

ITA 1980

Matemática

(ITA - 1980) Consideremos um triângulo retângulo que simultaneamente está circunscrito à circunferência C₁ e inscrito à circunferência C₂. Sabendo que a soma dos comprimentos dos catetos do triângulo é k cm, qual será a soma dos comprimentos destas duas circunferências?

A

(2πk)/3 cm

B

(4πk)/3 cm

C

4πk cm

D

2πk cm

E

πk cm

Gabarito:

πk cm

Resolução:

Sejam a a hipotenusa do triângulo e b e c, seus catetos.

LEMBRAR QUE:

A área de um triângulo retângulo é:

$S=frac{bcdot c}{2}$

A hipotenusa de um triângulo retângulo inscrito numa circunferência (de raio r) tem mesma medida do diâmetro dela.

$a=2r;;;;;;;;;;Rightarrow mathbf{r=frac{a}{2}}$

O raio da inscrita é dado por:

$R=frac{2S}{a+b+c}=frac{2S}{a+k}$

Do enunciado:

b + c = k

$\b+c=k\(b+c)^2=k^2\\ {color{Red} b^2+c^2}+{color{Blue} 2bc}=k^2\\Rightarrow {color{Red} a^2}+{color{Blue} 4S}=k^2\\\ herefore S=frac{k^2-a^2}{4}$

Da diferença de quadrados:

$S=frac{(k-a)(k+a)}{4}$ equação (i)

Com a equação (i) na equação do raio da inscrita (R):

$R=frac{2S}{a+k}=frac{frac{2}{4}(a+k)(k-a)}{a+k}=frac{k-a}{2}$

A soma dos comprimentos é dada por:

$2pi(R+r)=2pi(frac{a}{2}+frac{k-a}{2})=2pi(frac{a+k-a}{2})=pi k$

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