Questão 6843

ITA 1977

Matemática

(ITA - 1977) Considere um triângulo ABC cujos ângulos internos , e verificam a relação . Então podemos afirmar que:

com os dados do problema, não podemos determinar hat{A} , nem hat{B} e nem hat{C}

um desses ângulos é reto

$hat{A} = frac{pi }{6}$ e $hat{B} + hat{C} = frac{5pi }{6}$

$hat{A} = frac{pi }{3}$ , $hat{B} = frac{pi }{4}$ , $hat{C} = frac{5pi }{12}$

nenhuma das anteriores

Gabarito:

um desses ângulos é reto

Resolução:

$ext{Veja que: }A+B+C=pi Rightarrow B+C=pi-A\\ ext{ Assim: }senA =tgfrac{B+C}{2}=tgfrac{pi-A}{2}=tgleft( frac{pi}{2}-frac{A}{2} ight )=cotgfrac{A}{2}=frac{1}{tgfrac{A}{2}}=frac{cosfrac{A}{2}}{senfrac{A}{2}}\\ ext{ Mas, da trigonometria, temos que, por arco duplo: }senA=2senfrac{A}{2}cosfrac{A}{2}\\ herefore 2senfrac{A}{2}cosfrac{A}{2}=frac{cosfrac{A}{2}}{senfrac{A}{2}}\\ ext{ Daí, tem-se duas opções: }\\ (i) cosfrac{A}{2} eq0: 2senfrac{A}{2}=frac{1}{senfrac{A}{2}} Rightarrow sen^2frac{A}{2}=frac{1}{2} Rightarrow senfrac{A}{2}=pmfrac{sqrt{2}}{2}\\ ext{ Como }A ext{ é um ângulo de um triângulo, o seu seno não pode ser negativo, pois ângulos internos de triângulos não podem pertencer ao terceiro e ao quarto quadrantes! }\\ ext{ Dessa forma, vem que: }frac{A}{2}=frac{pi}{4} ext{ ou }frac{A}{2}=frac{3pi}{4} Rightarrow A=frac{pi}{2} ext{ ou }A=frac{3pi}{2} Rightarrow A=frac{pi}{2}$

$\\;;;(ii);cosfrac{A}{2}=0;;Rightarrow;;frac{A}{2}=frac{pi}{2};;Rightarrow;;A=pi ext{, absurdo! Pois } A ext{ é ângulo interno de um triângulo!} \\ herefore ext{ só é válida a opção } (i);; herefore;oxed{A=frac{pi}{2}}\\ ext{Dúvidas? Só postar nos comentários!}$

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