Questão 12464
IMED 2016
(Imed 2016) O dobro da área do triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de equação x2 + y2 + 6x - 2y - 6 = 0, representada no sistema de coordenadas cartesianas, é igual a:
Gabarito:
Resolução:
Vamos encontrar o raio da circunferência:
x2 + y2 + 6x - 2y - 6 = 0
As coordenadas do centro C (a; b) são dadas por:
a = 6/-2 = -3
b = -2/-2 = 1
C (-3; 1)
Sabemos que o raio é dado por:
a2 + b2 - r2 = c (em que c é o termo independente da equação)
Assim, temos que:
r2 = 16
Portanto r = 4.
Desenhamos o triângulo numa circunferência para notar que o lado do triângulo pode ser dado pela lei dos cossenos:
Usando a lei dos cossenos no triângulo destacado:
l² = r² + r² - 2.r.r.cos(120º), então
l² = 4² + 4² - 2.4.4.(-1/2), então
l² = 4² + 4² + 4²
l = 4√3
Assim, a área do triângulo é:
A = l².√3/4 = (4√3)².√3/4 = 12√3
Então o dobro da área é 2A = 24√3