Questão 4

IME 2008

Matemática

(IME - 2008/2009) Dada a função $F: mathbb{N}^{2} ightarrow mathbb{N}$ , com as seguintes características:

F(0,0) = 1;

F(n,m+1) = q.F(n,m), onde q é um número real diferente de zero;

F(n+1, 0) = r + F(n,0), onde r é um número real diferente de zero.

Determine o valor de $large sum_{i=0}^{2009} F(i,i), i in mathbb{N}$

Gabarito:

Resolução:

$\ F(1,0) = r + F(0,0) = r + 1 \ \ F(2,0) = r + F(1,0) = r + (r+ 1) = 2r + 1 \ \ F(3,0) = r + F(2,0) = r + (2r+ 1) = 3r + 1 \ \ . \ \ . \ \ . \ \ F(i,0) = ir + 1$

$\ F(1,1) = q . F(1,0) = q . (r+ 1) \ \ F(2,2) = q.q.F(2,0) = q^{2} .(2r+1)\ \ F(3,3) = q. q . F(3,1) = q . q . q . F(3,0) = q^{3}(3r+1)$

...

$F(i,i) = q^{i} F(ir + 1)$

$sum_{i=0}^{2009} F(i,i) = sum_{i=0}^{2009}q^{i}(ir + 1) = rsum_{i=0}^{2009} iq^{i} + sum_{i=0}^{2009}q^{i}$

Vamos chamar:

$sum_{i=0}^{2009} iq^{i} = M$

$sum_{i=0}^{2009}q^{i} = D$

Portanto, temos:

$i) sum_{i=0}^{2009} F(i,i) = r.M + D$

$M = 0 + 1q^{1} + 2q^{2} + 3q^{3} + . . . + 2008.q^{2008} + 2009 . q^{2009}$

$qM = 0 + 1q^{2} + 2q^{3} + 3q^{4} + . . . + 2008.q^{2009} + 2009 . q^{2010}$

Subtraindo as equações acima, temos:

$M - qM = q^{1} + q^{2} + q^{3} + . . . + q^{2009}- 2009 q^{2008}$

$(1-q)M = frac{q(q^{2008}-1)}{q-1} -2009.q^{2010}$

$M = frac{q(q^{2008}-1)}{(q-1)(q-1)} -frac{2009.q^{2010}}{(q-1)}$

$D = 1 + q + q^{2} + . . . q^{2009}$

$D = frac{1.(q^{2008} - 1)}{q-1}$

Substituindo M e D em (i), temos:

$sum_{i=0}^{2009} F(i,i) = r. [frac{q(q^{2009}-1)}{(1-q)(q-1)} - frac{2009.q^{2001}}{(1-q)}] + frac{q^{2010} - 1}{q-1}$

Questões relacionadas

Questão 12

(IME - 2008/2009) É dada uma PA de razão . Sabe-se que o quadrado de qualquer número par , , pode ser expresso como a soma dos n primeiros termos...

Ver questão

Questão 10

(IME - 2008/2009) Seja a uma constante real positiva, resolva a equação:

Ver questão

Questão 1

(IME - 2008/2009) Sejam dois conjuntos, X e Y, e a operação ∆, definida por X ∆ Y = (X – Y) U (Y – X). Pode-se afirmar que

Ver questão

Questão 2

(IME - 2008/2009) Seja ⋅ e um número complexo onde ρ e θ são, respectivamente, o módulo e o argumento de z e i é a unidade imaginária. Sabe-se q...

Ver questão