Questão 13

IME 2008

Matemática

(IME - 2008/2009) Se as curvas $y = x^{2} + ax + b e x = y^{2} + cy + d$ se interceptam em quatro pontos distintos, a soma das ordenadas destes quatro pontos

depende apenas do valor de c

depende apenas do valor de a

depende apenas dos valores de a e c.

depende apenas dos valores de a e b.

depende dos valores de a,b,c e d.

Gabarito:

depende apenas do valor de c

Resolução:

1) Temos o seguinte sistema:

$left{egin{matrix} x=y^2+cy+d \ y=x^2+ax+b end{matrix} ight.$

2) Fazendo as substituições:

$y=(y^2+cy+d)^2+a(y^2+cy+d)+b$

3) Desenvolvendo:

$2cy^3+2dy^2+y^4+c^2y^2+2cdy+d^2+ay^2+cay+da+b-y=0$

4) Ordenando:

$y^4+2cy^3+2dy^2+c^2y^2+ay^2+2cdy+cay-y+d^2+da+b=0$

$y^4+2cy^3+(2d+c^2+a)y^2+(2cd+ca-1)y+(d^2+da+b)=0$

5) Usando as relações de Girard, temos que:

$y_1+y_2+y_3+y_4=-2c$

Questões relacionadas

Questão 12

(IME - 2008/2009) É dada uma PA de razão . Sabe-se que o quadrado de qualquer número par , , pode ser expresso como a soma dos n primeiros termos...

Ver questão

Questão 10

(IME - 2008/2009) Seja a uma constante real positiva, resolva a equação:

Ver questão

Questão 1

(IME - 2008/2009) Sejam dois conjuntos, X e Y, e a operação ∆, definida por X ∆ Y = (X – Y) U (Y – X). Pode-se afirmar que

Ver questão

Questão 2

(IME - 2008/2009) Seja ⋅ e um número complexo onde ρ e θ são, respectivamente, o módulo e o argumento de z e i é a unidade imaginária. Sabe-se q...

Ver questão