Questão 11

IME 2008

Matemática

(IME - 2008/2009)

QUESTÃO ANULADA

Uma urna contém cinco bolas numeradas de 1 a 5. Retiram-se, com reposição, 3 bolas desta urna, sendo α o número da primeira bola, β o da segunda e λ o da terceira. Dada a equação quadrática αx² + βx + λ= 0, a alternativa que expressa a probabilidade das raízes desta equação serem reais é

a) $frac{19}{125}$

b) $frac{23}{60}$

c) $frac{26}{125}$

d) $frac{26}{60}$

e) $frac{25}{60}$

Próxima questão.

Assinale a alternativa A.

Gabarito:

Próxima questão.

Resolução:

Para que a equação do segundo grau, $alpha x^2+eta x + lambda = 0$ , tenha raízes reais, precisamos que o seu discriminante seja não negativo, ou seja, $Delta geq 0$ . Calculando o seu discriminante, temos:

$Delta = eta^2-4cdot alpha cdot lambda$

Como queremos que ele seja maior ou igual a zero, precisamos que $eta^2 geq 4cdot alpha cdot lambda$ .

Dividindo em casos conforme o valor de beta, teremos:

(i) $eta = 1$ : não existe nenhuma possibilidade que satisfaz a desigualdade.

(ii) $eta = 2$ : precisamos que $alpha = 1$ e $lambda = 1$ .

(iii) $eta = 3$ : teremos três possibilidades, ou $alpha = 1 = lambda$ , ou $alpha = 2$ e $lambda = 1$ , ou $alpha = 1$ e $lambda = 2$ .

(iv) $eta = 4$ : teremos oito possibilidades, sendo elas as triplas $(alpha, eta, lambda)$

$(1,4,1)$ , $(1,4,2)$ , $(1,4,3)$ , $(1,4,4)$ , $(2,4,1)$ , $(2,4,2)$ , $(3,4,1)$ e $(4,4,1)$

(v) $eta = 5$ : teremos doze possibilidades, sendo as seguintes triplas $(alpha, eta, lambda)$

$(1,5,1)$ , $(1,5,2)$ , $(1,5,3)$ , $(1,5,4)$ , $(1,5,5)$ , $(2,5,1)$ , $(2,5,2)$ , $(2,5,3)$ , $(3,5,1)$ , $(3,5,2)$ , $(4,5,1)$ e $(5,5,1)$

Totalizando assim 24 possibilidades em um total de $5cdot5cdot5=125$ casos possíveis.

Portanto, a probabilidade pedia é:

$frac{24}{125}$

Questões relacionadas

Questão 12

(IME - 2008/2009) É dada uma PA de razão . Sabe-se que o quadrado de qualquer número par , , pode ser expresso como a soma dos n primeiros termos...

Ver questão

Questão 10

(IME - 2008/2009) Seja a uma constante real positiva, resolva a equação:

Ver questão

Questão 1

(IME - 2008/2009) Sejam dois conjuntos, X e Y, e a operação ∆, definida por X ∆ Y = (X – Y) U (Y – X). Pode-se afirmar que

Ver questão

Questão 2

(IME - 2008/2009) Seja ⋅ e um número complexo onde ρ e θ são, respectivamente, o módulo e o argumento de z e i é a unidade imaginária. Sabe-se q...

Ver questão