Questão 10

IME 2008

Matemática

(IME - 2008/2009) Seja o sistema de equações lineares dadas por $left{egin{matrix} 6y_{1} +&y_{2} + &y_{3} + &y_{4} + &y_{5} = &10 \ y_{1} +& 6y_{2} & y_{3} + &y_{4} + &y_{5} = &20 \ y_{1}+& y_{2} + &6y_{3} + & y_{4}+ & y_{5} = &40 \ y_{1} +& y_{2} + &y_{3} + &6y_{4}+ &y_{5} =& 80 \ y_{1} +& y_{2} + &y_{3}+ &y_{4}+ &6y_{5} = & 160 end{matrix} ight.$ . O valor de $7y_{1} + 3y_{5}$ é

Gabarito:

Resolução:

Somando todas as equações do sistema, obteremos:

$10y_1 + 10y_2 + 10y_3 + 10y_4 + 10y_5 = 310 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 = 31$

Subtraindo dessa equação a primeira equação e pela última equação do sistema, temos, respectivamente:

$5y_1 = -21 Leftrightarrow y_1 = -frac{21}{5}$

$5y_5 = 129 Leftrightarrow y_5 = frac{129}{5}$

Sendo assim, conseguimos calcular o valor da expressão pedida no enunciado

$7y_1 + 3y_5 = 7cdotleft ( -frac{21}{5} ight ) + 3cdotleft ( frac{129}{5} ight ) = frac{-147+387}{5} = 48$

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