Questão 8

IME 2008

Matemática

(IME - 2008/2009) Seja A (a,b) o ponto da cônica $x^{2} - y^{2} = 27$ mais próximo da reta $4x - 2y + 3 = 0$ . O valor de a + b é:

-4

-9

Gabarito:

-9

Resolução:

Reescrevendo a equação da hipérbole:

$frac{x^2}{27} - frac{y^2}{27}=1$

Temos que o centro da hipébole será $(0,0)$ e ela á simétrica em relação ao eixo Y.

Reescrevendo, agora, a equação da reta $t$ :

$t: y=2x + frac{3}{2}$

Sabemos que no ponto da hipérbole mais próximo de $t$ passa uma reta paralela a $t$ , ou seja, irá passar uma reta $r$ com o mesmo coeficiente angular de $t$ , logo:

$r: y=2x +k$

Como sabemos que $r$ passa na hipérbole:

$x^2 - (2x+k)^2 = 27$

$x^2 - 4x^2 -4xk - k^2 -27 = 0$

$-3x^2 -(4k)x -( k^2 -27) = 0$

Temos então uma equação do 2º grau em que $Delta = 0$ pois existe apenas um ponto que soluciona o que queremos:

$Delta = 0$

$16k^2 -12(k^2+27) = 0$

$4k^2 -3(k^2+27) = 0$

$4k^2 -3k^2-81= 0$

$k^2-81= 0$

$k^2=81$

$k=pm9$

Então temos que perceber que, como $t: y=2x + frac{3}{2}$ não passa pela origem, então haverá apenas um ponto da hipérbole que corresponte como o mais próximo de $t$ e como $t$ não intercepta a origem, ele está mais perto da parte esquerda da hipérbol, ou seja, quando $x<0$ , logo teremos que usar 9 positivo: