Questão 8

IME 2008

Matemática

(IME - 2008/2009) Os raios dos círculos circunscritos aos triângulos ABD e ACD de um losango ABCD são, respectivamente, $frac{25}{2}$ e 25. A área do losango ABCD é

A

100

B

200

C

300

D

400

E

500

Gabarito:

400

Resolução:

Fazendo um esboço do desenho, temos:

Podemos calcular a área de um triângulo inscrito numa circunferência, pelo produto de seus lados dividido por 4R, onde R é o raio da circunferência. Dessa forma, analisando a figura temos que:

$A_{ABCD} = 2A_{ADB} = 2A_{ACD}$

Seja x a medida AB, que é a mesma que os outros lados do losango, teremos:

$A_{ADB} = frac{ADcdot ABcdot DB}{4cdotfrac{25}{2}} = frac{x^2cdot BD}{4cdotfrac{25}{2}}$

$A_{ACD} = frac{ADcdot DCcdot AC}{4cdot 25} = frac{x^2cdot AC}{4cdot25}$

Como as áreas são iguais, temos que:

$frac{x^2cdot AC}{4cdot25} = frac{x^2cdot BD}{4cdotfrac{25}{2}} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow AC = 2BD$

Com isso a área do losango, será:

$frac{ACcdot BD}{2} = (BD)^2$

Seja F o centro da circunferência circunscrita no triângulo ABD, por Pitágoras, temos:

$(FD)^2 = (DP)^2 + (PF)^2 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow (FD)^2 = left ( frac{BD}{2} ight )^2 + (PA-R)^2 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow R^2 = frac{BD^2}{4} + (BD-R)^2 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow R^2 = frac{BD^2}{4} + BD^2 - 2cdot(BD)cdot R+R^2 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow 0 = frac{5BD^2}{4} - 2cdot(BD)cdot R Leftrightarrow$

$Leftrightarrow frac{5BD^2}{4} = 2cdot(BD)cdot frac{25}{2} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow BD^2 = 20cdot BD Leftrightarrow BD = 20$

Dessa forma, teremos que a área do losango será:

$frac{ACcdot BD}{2} = (BD)^2 = 20^2 = 400$

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