Questão 5

Matemática

(IME - 2008/2009) Sabe-se que $y = frac{2+2^{cos2x}}{2(1+4^{sen^{2}x})}$ , $forall x in Re$ . Uma outra expressão para y é

$2^{-sen^{2}x}$

$2^{-2sen^{2}x}$

$2^{-cos^{2}x}$

$2^{-2cos^{2}x}$

Gabarito:

$2^{-2sen^{2}x}$

Resolução:

Desenvolvendo a expressão, temos:

$y = frac{2+2^{cos(2x)}}{2(1+4^{sen^2(x)})} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow y = frac{2(1+2^{cos(2x)-1}}{2(1+2^{2sen^2(x)})} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow y = frac{1+2^{-2sen^2(x)}}{1+2^{2sen^2(x)}}$

Seja $k = 2^{-2sen^2(x)}$ e $frac{1}{k} = 2^{2sen^2(x)}$ , fazendo a substituição na expressão anterior, teremos:

$y = frac{1+k}{1+frac{1}{k}} = frac{1+k}{frac{k+1}{k}} = left ( frac{1+k}{1} ight ) left ( frac{k}{k+1} ight ) = k$

Logo, temos que:

$y = k = 2^{-2sen^2(x)}$

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