Questão 4

Matemática

(IME - 2008/2009) Seja log 5 = m, log 2 = p e $N = 125 cdot sqrt[3]{frac{1562,5}{sqrt[5]{2}}}$ . O valor de $log_{5}N$ , em função de m e p, é

$frac{75m + 6p}{15m}$

$frac{70m-6p}{15m}$

$frac{75m - 6p}{15m}$

$frac{70m + 6p}{15m}$

$frac{70m+6p}{15p}$

Gabarito:

$frac{70m-6p}{15m}$

Resolução:

Desenvolvendo a expressão, temos:

$N = 125cdotsqrt[3]{frac{1562,5}{sqrt[5]{2}}} = 5^3cdotsqrt[3]{frac{3125}{2sqrt[5]{2}}} =$

$= 5^3cdotsqrt[3]{frac{5^5}{sqrt[5]{2^6}}} = 5^3frac{5^{frac{5}{3}}}{2^{frac{2}{5}}} = frac{5^{frac{14}{3}}}{2^{frac{2}{5}}}$

Com isso temos que $N = frac{5^{frac{14}{3}}}{2^{frac{2}{5}}}$ , aplicando o logaritmo de base 5 dos dois lados, teremos:

$log_5N = log_5{frac{5^{frac{14}{3}}}{2^{frac{2}{5}}}} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow log_5N = log_5{5^{frac{14}{3}}-log_5{2^{frac{2}{5}}}} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow log_5N = frac{14}{3} - frac{2}{5}cdotlog_5{2}$

Passando $log_5{2}$ para a base 10, temos:

$log_5{2} = frac{log2}{log5} = frac{p}{m}$

Logo

$log_5N = frac{14}{3} - frac{2}{5}cdotfrac{p}{m} = frac{70m-6p}{15m}$

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