Questão 33734

IME 2003

Matemática

(IME - 2003)

Seja P um ponto no interior de um triângulo ABC, dividindo-se em seis triângulos, quatro dos quais têm áreas 40, 30, 35 e 84, como mostra a figura. Calcule a área do triângulo ABC.

Gabarito:

Resolução:

Sejam $A, b e C$ as intercessões de $overline{AP}$ com $overline{BC}$ , $overline{BP}$ com $overline{AC}$ e $overline{CP}$ com $overline{AB}$ , respectivamente.

Como os triângulos $Delta PBA$ e $Delta PCA$ possuem mesma altura em relação aos lados $overline{BA}$ e $overline{CA}$ , respectivamente, podemos fazer:

$left{egin{matrix} S_{PBA}=frac{overline{BA}cdot h}{2}\ \ S_{PCA}=frac{overline{CA}cdot h}{2} end{matrix} ight. xrightarrow[as express ilde oes]{dividindo} frac{S_{PBA}}{S_{PCA}}=frac{frac{overline{BA}cdot h}{2}}{frac{overline{CA}cdot h}{2}} ightarrow frac{40}{30}=frac{overline{BA}}{overline{CA}} ightarrow frac{overline{BA}}{overline{CA}}=frac{4}{3}$

Analogamente, os triângulos $Delta ABA$ e $Delta ACA$ possuem mesma altura relativa aos lados $overline{BA}$ e $overline{CA}$ , respectivamente. Então:

$frac{S_{ABA}}{S_{ACA}}=frac{frac{overline{BA}cdot h}{2}}{frac{overline{CA}cdot h}{2}} ightarrow frac{40+S_{PBC}+84}{30+35+S_{APB}}=frac{overline{BA}}{overline{CA}}$

Mas, como $frac{overline{BA}}{overline{CA}}=frac{4}{3}$ , temos: $frac{40+S_{PBC}+84}{30+35+S_{APB}}=frac{4}{3} ightarrow frac{124+S_{PBC}}{65+S_{APB}}=frac{4}{3}$ (EQUAÇÃO 1)

Da mesma maneira, os triângulos $Delta BCb$ e $Delta BAb$ possuem mesma altura relativa aos lados $overline{CB}$ e $overline{AB}$ , respectivamente. Então:

$frac{S_{BCB}}{S_{BAB}}=frac{frac{overline{CB}cdot h}{2}}{frac{overline{AB}cdot h}{2}} ightarrow frac{40+30+35}{S_{PBC}+84+S_{APB}}=frac{overline{CB}}{overline{AB}} ightarrow$ $frac{105}{S_{PBC}+84+S_{APB}}=frac{overline{CB}}{overline{AB}}$

Ainda, os triângulos $Delta PCb$ e $Delta PAb$ possuem mesma altura relativa aos lados $overline{CB}$ e $overline{AB}$ , respectivamente. Então:

$frac{S_{PCB}}{S_{PAB}}=frac{frac{overline{CB}cdot h}{2}}{frac{overline{AB}cdot h}{2}} ightarrow frac{35}{S_{APB}}=frac{overline{CB}}{overline{AB}}$

Logo, como $frac{35}{S_{APB}}=frac{overline{CB}}{overline{AB}}$ e $frac{105}{S_{PBC}+84+S_{APB}}=frac{overline{CB}}{overline{AB}}$ , temos:

$frac{35}{S_{APB}}=frac{105}{S_{PBC}+84+S_{APB}} ightarrow frac{1}{S_{APB}}=frac{3}{S_{PBC}+84+S_{APB}} ightarrow$

$ightarrow S_{PBC}+84+S_{APB}=3cdot S_{APB} ightarrow 2cdot S_{APB}=84+S_{PBC}$ (EQUAÇÃO 2)

Substituindo a EQUAÇÃO 2 acima na EQUAÇÃO 1, temos:

$frac{124+S_{PBC}}{65+S_{APB}}=frac{4}{3} ightarrow 372+3cdot S_{PBC}=260+4cdotleft(frac{84+S_{PBC}}{2} ight )$

$ightarrow 112+3cdot S_{PBC}=2cdot(84+S_{PBC}) ightarrow 112+3cdot S_{PBC}=168+2cdot S_{PBC}$ $herefore S_{PBC}=56$

Substituindo esse valor na EQUAÇÃO 2, temos:

$2cdot S_{APB}=84+S_{PBC} ightarrow 2cdot S_{APB}=84+56 ightarrow S_{APB}=70$

Logo, a área total do triângulo $Delta ABC$ é igual a:

$Delta ABC=40+30+35+70+84+56=315$

Questão 33734

IME 2003

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