Questão 47428

FUVEST 2011

Matemática

(FUVEST - 2011 - 2 fase)

As circunferências C₁ e C₂ estão centradas em O₁ e O₂, têm raios r₁=3 e r₂=12, respectivamente, e tangenciam-se externamente. Uma reta t é tangente a C₁ no ponto P₁, tangente a C₂ no ponto P₂e intercepta a reta O₁O₂no ponto Q. Sendo assim, determine

a) o comprimento P₁P₂;

b) a área do quadrilátero O₁O₂P₂P₁;

c) a área do triângulo QO₂P_2.

Gabarito:

Resolução:

Teremos $O_{1}O_{2}=3+12=15$ e sendo $P_{1}P_{2}//overline{O_{1}P}$ então $P_{1}P_{2}={O_{1}P$

Sabemos ainda que $P_{1}O_{1}=P{2}P=3$ , logo $P_{2}=9$ .

Então, $(O_{1}O_{2})^{2}=(P_{1}P_{2})^{2}+(PO_{2})^{2}Leftrightarrow 15^{2}=9^{2}+(P_{1}P_{2})^{2}Leftrightarrow P_{1}P_{2}=12$

O quadrilátero $O_{1}O_{2}P_{2}P_{1}$ é um trapézio retângulo com altura $P_{1}P_{2}$ . Sua área será:

$frac{(12+3).12}{2}=90$

Como $Delta QP_{1}O_{1}sim Delta O_{1}PO_{2}$ , então:

$frac{PO_{1}}{P_{1}Q}Leftrightarrow frac{9}{3}=frac{12}{P_{1}Q}Leftrightarrow P_{1}Q=4$

A área do triângulo será $frac{(4+12).12}{2}=96$

Questões relacionadas

Questão 21

(FUVEST - 2011) Sejam f(x) = 2x - 9 e g(x) = x2 + 5x + 3. A soma dos valores absolutos das raízes da equação f(g(x)) = g(x) é igual a

Ver questão

Questão 29

(FUVEST - 2011) Seja f(x) = a + 2bx+c , em que a, b e c são números reais. A imagem de f é a semirreta ]-1, [ e o gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos...

Ver questão

Questão 23

(FUVEST - 2011) Seja x > 0 tal que a sequência forme, nessa ordem, uma progressão aritmética. Então, é igual a

Ver questão

Questão 28

(FUVEST - 2011) No plano cartesiano, os pontos (0, 3) e (-1, 0) pertencem à circunferência C. Uma outra circunferência, de centro em (-1/2, 4) é tangente a C no ponto (0, 3)....

Ver questão