Questão 1

FUVEST 2011

Matemática

(FUVEST 2011)

Determine o conjunto de todos os números reais x para os quais vale a desigualdade

Gabarito:

Resolução:

Condições de existência:

$1-x^{2}> 0$

$1+x> 0$

Para x entre -1 e 1: $-1< x< 1$

$mid log_{4^{2}}(1-x^{2})-log_{4}(1+x)mid < frac{1}{2}$

$midfrac{1}{2} log_{4}(1-x^{2})-log_{4}(1+x)mid < frac{1}{2}$

$mid log_{4}(1-x^{2})-2log_{4}(1+x)mid < 1$

$mid log_{4}frac{(1-x^{2})}{(1+x)^{2}}mid< 1$

$mid log_{4}frac{(1-x)}{(1+x)}mid< 1$

$frac{1}{4}< frac{(1-x)}{(1+x)}< 4$

Multiplicando por $4(1+x)$

$1+x< 4(1-x)< 16(1+x)$

$1+x< 4-4x< 16+16x$

$1+x< 4-4x herefore x< frac{3}{5}$

II:

$4-4x< 16+16x herefore x> frac{-3}{5}$

De I e II teremos que:

$frac{-3}{5}< x< frac{3}{5}$ o que satisfaz $-1< x< 1$

Resposta:

$]frac{-3}{5}, frac{3}{5}[$

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