Questão 20

FUVEST 2011

Matemática

(FUVEST - 2011) Uma geladeira é vendida em n parcelas iguais, sem juros. Caso se queira adquirir o produto, pagando-se 3 ou 5 parcelas a menos, ainda sem juros, o valor de cada parcela deve ser acrescido de R$ 60,00 ou de R$ 125,00, respectivamente. Com base nessas informações, conclui-se que o valor de n é igual a

Gabarito:

Resolução:

Resolução 1:

1. Uma geladeira é vendida em n parcelas iguais, sem juros.

Temos que a geladeira custa um valor x, visto que não sabemos o seu valor. Cada parcela possui como valor x/n, visto que é sem juros.

2. Caso se queira adquirir o produto, pagando-se 3 ou 5 parcelas a menos, ainda sem juros, o valor de cada parcela deve ser acrescido de R$ 60,00 ou de R$ 125,00, respectivamente.

Para 3 parcelas a menos, temos que o valor de cada parcela será $frac{x}{n}+60$

Para 5 parcelas a menos, temos que o valor de cada parcela será $frac{x}{n}+125$

Com isso temos que $frac{x}{n} * n = (frac{x}{n}+60)*(n-3) = (frac{x}{n}+125)*(n-5)$ , pois o valor da parcela pela quantidade de parcelas sempre será igual.

Com isso, temos o seguinte sistema:

$left{egin{matrix} x = x-3 cdot frac{x}{n} +60n -180 \ x = x -5 cdot frac{x}{n} +125n - 625 end{matrix} ight.$

Organizando:

$left{egin{matrix} 180 = -3 cdot frac{x}{n} +60n \ 625 = -5 cdot frac{x}{n} +125n end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} 180n = -3x +60n^2 \ 625n = -5x +125n^2 end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} 3x = 60n^2 - 180n \ 5x = 125n^2 -625n end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} x = 20n^2 - 60n \ x = 25n^2 -125n end{matrix} ight.$

$20n^2 - 60n = 25n^2 -125n$

$5n^2 -65n = 0$

$5n(n-13)=0$

$n = 0 ou n = 13$

Logo, temos que n = 13.

Resolução 2:

Vamos dizer que a geladeira custe x reais

1) Dividindo esse valor em n parcelas, cada parcela será de x/n

2) Mas, se o pagamento foi feito em (n -3) parcelas, o valor de cada parcela será acrescido de $ 60,00, ou seja, cada parcela é igual à x/n + 60

3) E, dividindo em (n - 5) parcelas, o valor de cada parcela será acrescido de $ 125,00, ou seja, cada parcela é igual à x/n + 125,00

Se multiplicarmos o número de parcelas pelo valor de cada parcela, teremos o valor total da geladeira:

$De;(I):;;;;ncdot frac{x}{n}=x;;reais$
$De;(II):;;;;(n-3)cdot( frac{x}{n}+60)=x;;reais$ (IV) (pois o valor total da geladeira continua o mesmo, independente do número de parcelas)
$De;(III):;;;;(n-5)cdot( frac{x}{n}+125)=x;;reais$ (V)

$\\De;(II):;;;;(n-3)cdot( frac{x}{n}+60)=x$

$\\\ncdot (frac{x}{n})+60n-frac{3x}{n}-180=x$

$;;;; herefore;; 60n-frac{3x}{n}=180$

$De;;(III):;;(n-5)cdot( frac{x}{n}+125)=x$

$\\\ncdot (frac{x}{n})+125n-frac{5x}{n}-625=x;;;;$

$herefore;; 125n-frac{5x}{n}=625;;$ eq. V

$\\\Somando;;{color{Red} (-5)cdot (IV)};;e;;{color{Green} (3)cdot (V)}:\\\-300n+frac{15x}{n}+375n-frac{15x}{n}=-900+1875\\\75n=975;; herefore ;;n=13$

Alternativa A

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