Questão 6

FUVEST 2007

Matemática

(FUVEST - 2007 - 2 fase - Questão 6)

Na figura abaixo, os pontos A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ são vértices de um hexágono regular de lado 3 com centro na origem O de um sistema de coordenadas no plano. Os vértices A₁ e A₄ pertencem ao eixo x. São dados também os pontos B = (2 ,0) e C = (0 ,1) .

Considere a reta que passa pela origem O e intersecta o segmento BC no ponto P, de modo que os triângulos OPB e OPC tenham a mesma área. Nessas condições, determine

a) a equação da reta OP .

b) os pontos de interseção da reta OP com o hexágono.

Gabarito:

Resolução:

De acordo enunciado e considerando a figura abaixo:

$a)$

$1^{circ})$

$left.egin{matrix} A_{Delta OPB}=frac{2.1}{2}=1\ A_{Delta OPB}=A_{Delta OPC} end{matrix} ight}Rightarrow A_{Delta OPB}=A_{Delta OPC}=frac{1}{2}$

$2^{circ})$ Se $P(x_{p},y_{p}), temos$

$A_{Delta OPB}=frac{OBy_{p}}{2}Rightarrow frac{1}{2}=frac{2y_{p}}{2}Leftrightarrow y_{p}=frac{1}{2}$

$A_{Delta OPC}=frac{OCx_{p}}{2}Rightarrow frac{1}{2}=frac{1x_{p}}{2}Leftrightarrow x_{p}=1$

Dessa forma, $P(1;frac{1}{2})$

$3^{circ})$ A equação da reta OP que passa pela origem e tem coeficiente angular $m=frac{y_{p}}{x_{p}}=frac{1}{2}$ é $y=frac{1}{2}x$

$b)$

$1^{circ})$

A equação da reta $A_{1}A_{2}$ que passa pelo ponto $A_{1}=(3,0)$ e tem coeficiente angular $m=tg120^{circ}=-sqrt{3}$ é:

$y-0=-sqrt{3}(x-3)Leftrightarrow y=-sqrt{3}(x-3)$

$2^{circ})$ O ponto Q é a intersecção das retas OP e $A_{1}A_{2},$ então:

$left{egin{matrix} y=-frac{x}{2}\ y=-sqrt{3}(x-3) end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{6.(6-sqrt{3})}{11}\ y=frac{6(6-sqrt{3})}{22} end{matrix} ight.$

Portanto: $Q(frac{6(6-sqrt{3})}{11};frac{6(6-sqrt{3})}{22})$

$3^{circ})$ O ponto R, intersecção da reta OP com a reta $A_{4}A_{5}$ é o ponto simétrico de Q em relação a origem, resultando as coordenadas

$R(frac{-6(6-sqrt{3})}{11};frac{-6(6-sqrt{3})}{22})$

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