Questão 3

FUVEST 2007

Matemática

(FUVEST - 2007 - 2 fase - Questão 3)

Em uma progressão aritmética a₁, a₂, ..., a_n, ... a soma dos n primeiros termos é dada por S_n = bn² + n, sendo b um número real. Sabendo-se que a₃ = 7, determine

a) o valor de b e a razão da progressão aritmética.

b) o 20^o termo da progressão.

c) a soma dos 20 primeiros termos da progressão.

Gabarito:

Resolução:

A soma dos n termos de uma PA é dada por:

$Sn=frac{a_{1}+a_{n}}{2}=frac{a_{1}+a_{1}+(n-1)r}{2}=frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}=frac{n^{2}r}{2}+n(a_{1}-frac{r}{2})$

Por comparação com a fórmula que foi dada:

$r=2b(I)$

$a_{1}-frac{r}{2}=1(II)$

O enunciado ainda afirma que $a_{3}$ será 7, portanto:

$a_{1}+2r=7(III)$

Resolvendo os sistemas III e II:

$a_{1}=frac{11}{5}$ e $r=frac{12}{5}Rightarrow b=frac{6}{5}$

$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$

$a_{20}=frac{11}{5}+19frac{12}{5}$

$a_{20}=frac{239}{5}$

$c)$

Pela fórmula dada no exercício:

$S_{n}=bn^{2}+n$

$S_{20}=6.20^{2}+20=500$

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