Questão 51731
FUVEST 2002
(FUVEST - 2002 - 2 FASE)
Um astrônomo, ao estudar uma estrela dupla E1-E2, observou que ambas executavam um movimento em torno de um mesmo ponto P, como se estivessem ligadas por uma barra imaginária. Ele mediu a distância D entre elas e o período T de rotação das estrelas, obtendo T = 12 dias. Observou, ainda, que o raio R1, da trajetória circular de E1, era três vezes menor do que o raio R2, da trajetória circular de E2. Observando essas trajetórias, ele concluiu que as massas das estrelas eram tais que M1 = 3 M2. Além disso, supôs que E1 e E2 estivessem sujeitas apenas à força gravitacional entre elas.
A partir das medidas e das considerações do astrônomo:
a) Indique as posições em que E1 e E2 estariam, quinze dias após uma observação em que as estrelas foram vistas, como está representado no esquema da folha de respostas. Marque e identifique claramente as novas posições de E1 e E2 no esquema da folha de respostas.
b) Determine a razão entre os módulos das velocidades lineares das estrelas E2 e E1.
c) Escreva a expressão da massa M1 da estrela E1, em função de T, D e da constante universal da gravitação G.
Gabarito:
Resolução:
a) Temos que 15 dias são:
5/4 de período, ou seja um período completo(uma volta completa) mais um 1/4 de período(1/4 de volta). Com base nisso, os astros devem estar na seguinte configuração:
b) Teremos que a velocidade angular de ambas estrelas serão iguais, uma vez que estão sempre alinhadas, logo:
Com a informação de que o raio de E2 é 3 vezes o raio de E1, podemos fazer:
c) A força gravitacional entre as estrelas funciona como força centrípeta assim:
Como M1 é igual 3M2, temos que M2=M1/3. O raio é D/4, e temos:
Assim: