Questão 62953

Matemática

(FMJ - 2021)

Em um trapézio retângulo ABCD, o lado AD mede 6cm e o ângulo BÂD mede 60 graus conforme mostra a figura.

Sabendo-se que a diagonal AC mede $2sqrt{13}$ a medida do lado AB desse trapézio é

$frac{9sqrt{3}}{2}$

$frac{5sqrt{3}}{2}$

$frac{4sqrt{3}}{3}$

$frac{8sqrt{3}}{3}$

$frac{6sqrt{3}}{3}$

Gabarito:

$frac{8sqrt{3}}{3}$

Resolução:

A diagonal AC divide o ângulo de 60° em dois e forma os triângulos ADC e ABC.

No triângulo ADC, podemos calcular DC pelo teorema de Pitágoras:

$AC^{2}= AD^{2}+DC^{2}$

$DC^{2}= AC^{2}-AD^{2}$

$DC^{2}= (2sqrt{13})^{2}-6^{2}$

$DC^{2}= (4sqrt{169})-36$

$DC^{2}= (4 imes 13)-36 = 52-36=16$

$DC=sqrt{16}$

$DC=4$

Traçando uma linha que parte de B e é perpendicular ao lado AD, formando um triângulo ABO, temos que BO será 4 cm, logo, pela função seno, temos:

$sen60^{circ}=frac{4}{AB}$

$AB=frac{4}{frac{sqrt{3}}{2}}$

$AB = frac{8}{sqrt{3}} = frac{8sqrt{3}}{3}$