Questão 34345
FGV 2016
Assinale a sentença verdadeira:
Dois lados de um triângulo retângulo medem 3 e 4; logo o terceiro lado mede 5.
Um polígono regular de perímetro 2p e apótema de medida a está inscrito em uma circunferência. A área desse polígono é p.a.
Três pontos distintos do espaço determinam sempre um único plano que os contém.
Em um círculo de área 100, a distância máxima entre dois de seus pontos é 25.
A diagonal, não da face, de um cubo de lado de medida é
.
Gabarito:
Um polígono regular de perímetro 2p e apótema de medida a está inscrito em uma circunferência. A área desse polígono é p.a.
Resolução:
A relação citada na primeira alternativa só seria verdadeira se 3 e 4 fossem os catetos, mas isso não é dito. 3 ou 4 poderiam ser a hipotenusa também, e aí o outro lado não poderia valer 5. Logo a alternativa A é falsa.
Alternativa B:
Um polígono regular inscrito em uma circunferência, forma n triângulos isósceles, sendo n o número de lados do polígono.
Dois lados desses triângulos terão medida r( raio da circunferência), e o outro lado irá medir .
A área do polígono então será dada pela soma das áreas dos n triângulos.
Para cada um desses triângulos podemos tomar o lado de medida 2p/n como base e a altura relativa a esse lado será o apótema a, que é dado no enunciado.
Assim, cada triângulo tem área A = 2p*a/2n = pa/n.
Como temos n triângulos congruentes sendo formados, a área total do polígono é nA = pa.
Alternativa B é a correta.
Alternativa C é incorreta pois os 3 pontos só determinariam um único plano caso não fossem colineares. Esta informação não é dita na alternativa.
Alternativa D é incorreta pois a distância máxima entre dois ponto de um círculo é o diâmetro dele, e a área de um círculo tem relação com o diâmetro dada por A = πD²/4.
Se A = 100π, D²/4 = 100, logo D²= 400.
Implicando que D = 20, e não 25 como afirmado na alternativa.
Alternativa E é incorreta, a diagonal de um cubo é dada por , em que l é o comprimento da aresta do cubo.