Questão 31

ESPCEX 2023

Física

(EsPCEx - 2023)

O desenho a seguir representa o espaço que foi mapeado com os eixos cartesianos xy com origem no ponto O. Na região, há um campo elétrico uniforme $vec{E}$ de sentido contrário à orientação do eixo x. Uma carga elétrica puntiforme positiva q, de massa m, é lançada do ponto A, do eixo x, com uma velocidade inicial $vec{v_{0}}$ , na região em que o campo atua. Ela desloca-se sob ação exclusiva do campo elétrico até chocar-se em um anteparo, no ponto B do eixo y, conforme representado no desenho. Podemos afirmar que o módulo da carga elétrica q é dado por:

Dados: o ângulo entre $vec{v_{0}}$ e $vec{E}$ vale $heta$ ; $heta > 90^{circ}$ ; $d= overline{OA}$ e $D= overline{OB}$ .

$frac{mv^{2}_{0}}{ED} left ( frac{2D}{d} sen^{2} heta-sen heta ight )$

$frac{mv^{2}_{0}}{ED} left ( frac{2d}{D} sen^{2} heta-sen (2 heta) ight )$

$frac{mv^{2}_{0}}{ED} left ( frac{D}{d} cos heta+ sen heta ight )$

$frac{D}{d} left (frac{mv^{2}_{0} cos heta}{Ed} + sen heta ight )$

$frac{D}{d} left (cos heta-frac{mv^{2}_{0} sen( 2 heta)}{ED} ight )$

Gabarito:

$frac{mv^{2}_{0}}{ED} left ( frac{2d}{D} sen^{2} heta-sen (2 heta) ight )$

Resolução:

Podemos analisar o movimento o decompondo nos eixos x e y com base na velocidade.

Temos que o ângulo $alpha$ será o complementar do ângulo $heta$ .

Temos então:

$\V_{0x}=V_0cdot cos(alpha)\ V_{0y}=V_0cdot sen(alpha)$

Como alpha é o complementar, temos:

$\V_{0x}=V_0cdot cos(180- heta)\ V_{0y}=V_0cdot sen(180- heta)$

Sabemos que $sen(180- heta)=sen( heta)$ e $cos(180- heta)=-cos( heta)$ .

Em y temos um movimento constante:

$V_y=frac{Delta S}{Delta t}$

Em y o deslocamento é D e sendo o tempo do movimento t, assim:

$V_y=frac{D}{t}$

Em x, teremos que a força elétrica atuará na carga, logo a força resultante será a elétrica, visto que não temos mais nenhuma atuando:

$F_R=-qcdot E ightarrow mcdot a=-qcdot E ightarrow a=frac{-qcdot E}{m}$

Com a aceleração da carga, podemos descrever sua equação de movimento no eixo x:

$S=S_0+V_{0x}cdot t+frac{at^2}{2}$

Observando a posição do eixo, a posição inicial é d e a final é 0:

$0=d+V_{0}cdot (-cos( heta))cdot t+frac{frac{-qcdot E}{m}cdot t^2}{2}$

Se voltarmos na expressão do movimento em y, podemos isolar o tempo, e substituir aqui:

$V_{0y}=frac{D}{t} ightarrow t=frac{D}{V_{0y}} ightarrow t=frac{D}{V_0cdot sen( heta)}$

Substituindo:

$0=d+V_{0}cdot (-cos( heta))cdot frac{D}{V_0cdot sen( heta)}+frac{-qcdot Ecdot (frac{D}{V_0cdot sen( heta)})^2}{2m}$

Agora temos uma expressão do movimento em que aparece a carga elétrica, que é nosso objetivo. Podemos dividir a expressão para ficar mais fácil isolar a carga q:

$\-d-V_{0}cdot (-cos( heta))cdot frac{D}{V_0cdot sen( heta)}=frac{-qcdot Ecdot (frac{D}{V_0cdot sen( heta)})^2}{2m}\\ d-V_{0}cdot (cos( heta))cdot frac{D}{V_0cdot sen( heta)}=frac{qcdot Ecdot (frac{D}{V_0cdot sen( heta)})^2}{2m}\\ d-frac{Dcdot cos( heta)}{sen( heta)}=frac{qcdot E}{2m}cdot frac{D^2}{V_0^2cdot sen( heta)^2}$

Isolando q:

$\ (d-frac{Dcdot cos( heta)}{sen( heta)})cdot frac{V_0^2cdot sen( heta)^2cdot 2m}{Ecdot D^2}=q$

Vamos buscar algo que se enquadre nas alternativas. Colocando em evidência mv²/ED:

$\ dcdot frac{V_0^2cdot sen( heta)^2cdot 2m}{Ecdot D^2}-cos( heta)cdot frac{V_0^2cdot sen( heta)cdot 2m}{Ecdot D}=q\\ frac{mV_0^2}{Ecdot D}(frac{dcdot sen( heta)^2cdot 2}{D}-2sen( heta)cos( heta))$

Organizando e aplicando a propriedade trigonométrica:

$\ frac{mV_0^2}{Ecdot D}(frac{2d}{D}cdot sen( heta)^2-sen(2 heta))$

Letra B

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