Questão 76832

ESCOLA NAVAL 2020

Matemática

(Esc. Naval 2020) Assinale a opção que apresenta uma solução, em $x$ e $y$ , do sistema $left{egin{matrix} log_5x+3^{log_3y} &=7 \ x^y & =5^{12} end{matrix} ight.$ .

x=125 e y=3

x=3 e y=125

x=625 e y=3

x=4 e y=125

x=3 e y=4

Gabarito:

x=625 e y=3

Resolução:

Trabalhando com a primeira equação, temos:

$log_5x+3^{log_3y} = 7 Leftrightarrow log_5x+y = 7$

Aplicando logaritmo de 5 na segunda equação, temos:

$log_5x^y=log_55^{12} Leftrightarrow ylog_5x=12$

Seja $log_5x = a$ e $y = b$ , temos o seguinte sistema:

$left{egin{matrix} a+b=7 \ acdot b = 12 end{matrix} ight.$

Dessa forma, conseguimos identificar os possíveis valores de a e b que satisfazem esse sistema, sendo:

(i) $a = 3$ e $b = 4$

(ii) $a = 4$ e $b = 3$

Analisando o primeiro caso, temos:

$log_5x = 3 Leftrightarrow x = 125$

$y = b = 4$

Não tendo gabarito que satisfaça.

Analisando o segundo caso, temos:

$log_5x = 4 Leftrightarrow x = 625$

$y = b = 3$

Portanto, a alternativa correta é a letra C.

Questão 76832

ESCOLA NAVAL 2020

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