Questão 65742

ESCOLA NAVAL 2012

Matemática

(ESCOLA NAVAL - 2012)

Qual o valor da expressão $sqrt{cossec^2;picdot;x+cotgfrac{picdot;x}{2}+2}$ , onde x é a solução da equação trigonométrica $arctg;x+arctg(frac{x}{x+1})=frac{pi}{4}$ definida no conjunto $mathbb{R}-[-1]$ ?

$sqrt{3}$

-1

$frac{6+sqrt{2}}{2}$

$frac{4+sqrt{2}}{2}$

Gabarito:

Resolução:

Seja $a = arctg(x)$ e $b = arctgleft (frac{x}{x+1} ight )$ .

Substituindo na equação, temos:

$arctg(x)+arctgleft (frac{x}{x+1} ight )=frac{pi}{4}$

$a + b =frac{pi}{4}$

$tg(a + b) = tg left (frac{pi}{4} ight )$

$frac{tg(a)+tg{(b)}}{1-tg(a)cdot tg(b)} = 1$

Como $a = arctg(x)$ e $b = arctgleft (frac{x}{x+1} ight )$ , temos que $x = tg(a)$ e $frac{x}{x+1} = tg(b)$ . Portanto, teremos que:

$frac{left (x ight )+left (frac{x}{x+1} ight )}{1-left (x ight )cdot left (frac{x}{x+1} ight )} = 1$

$dfrac{frac{(x+1)x+x}{x+1}}{frac{x+1+x^2}{x+1}} = 1$

$frac{x^2+2x}{x+1-x^2} = 1$

$x^2+2x = -x^2+x+1$

$2x^2+x -1 = 0$

$(2x-1)(x+1) = 0$

$x = frac{1}{2}$ ou $x = -1$

Como pelo enunciado temos que $x in mathbb{R}-[-1]$ , a única solução possível é $x = frac{1}{2}$ .

Substituindo na expressão que desejamos calcular, temos:

$sqrt{cossec^2left (picdot x ight )+cotgleft (frac{picdot x}{2} ight )+2}$

$sqrt{cossec^2left ( frac{pi}{2} ight )+ cotg left ( frac{pi}{4} ight )+2}$

$sqrt{1 + 1 +2} = sqrt{4} = 2$

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