Questão 7488
ESCOLA NAVAL 1988
(ESCOLA NAVAL - 1988) Um poliedro convexo é formado por 10 faces triangulares e 10 faces pentagonais. O número de diagonais desse poliedro é:
60
81
100
121
141
Gabarito:
141
Resolução:
O número de arestas desse poliedro deve ser:
A = (10*3 + 10*5)/2 = 40
Usando a relação de Euler, podemos encontrar o número de vértices:
V + F = A + 2, então
V + 20 = 40 + 2, então
V = 22
O número de segmentos possíveis unindo esse vértices é igual a N, sendo N uma combinação dos 22 vértices tomados dois a dois (pois dois pontos determinam uma reta):
Desses segmentos, 40 são arestas e 5*10 = 50 são diagonais das faces pentagonais (cada face pentagonal tem 5 diagonais). Assim, o número de diagonais D do poliedro deve ser:
D = N - 40 - 50 = 141