Questão 57263

EFOMM 2019

Física

A figura abaixo mostra a vista superior de um anel de raio R que está contido em um plano horizontal e que serve de trilho, para que uma pequena conta de massa m se movimente sobre ele sem atrito. Uma mola de constante elástica k e o comprimento natural R, com uma extremidade fixa no ponto A do anel e com a outra ligada à conta, irá movê-la no sentido anti-horáro. Inicialmente, a conta está em repouso e localiza-se no ponto B, que é diametralmente oposto ao ponto A. Se P é um ponto qualquer e $heta$ é o ângulo entre os segmentos AB e AP, a velocidade da conta, ao passar por P, é

$Rsqrt{frac{k}{m}}left|cos heta ight|$

$2Rsqrt{frac{k}{m}}sen heta$

$Rsqrt{frac{k}{m}left|cos heta + sen heta -1 ight|}$

$2Rsqrt{frac{k}{m}left(cos heta - cos^{2} heta ight )}$

$Rsqrt{frac{k}{m}sen heta cos heta}$

Gabarito:

$2Rsqrt{frac{k}{m}left(cos heta - cos^{2} heta ight )}$

Resolução:

Essa questão se resolve usando a conservação da energia.

Inicialmente a energia mecânica é dada por $frac{kR^2}{2}$ .

No instante final temos que a energia mecânica é dada por $frac{mv^2}{2} + frac{k(2Rcos( heta) - R)^2}{2}$ .

Como a energia se conserva temos:

$frac{kR^2}{2} = frac{mv^2}{2} + frac{k(2Rcos( heta) - R)^2}{2}$

Multiplicando todos os termos por 2:

$kR^2= mv^2 +k(2Rcos( heta) - R)^2$

Agora expandindo:

$kR^2= mv^2 +k[4R^2cos^2( heta) - 4R^2cos( heta) + R^2]$

Simplificando temos:

$0 = mv^2 +k[4R^2cos^2( heta) - 4R^2cos( heta)]$

Assim chegamos na expressão:

$\mv^2 = k[4R^2cos( heta) - 4R^2cos^2( heta)] Rightarrow\\\ v^2 = frac{k}{m} cdot [4R^2cos( heta) - 4R^2cos^2( heta)] Rightarrow\\\ v = 2Rsqrt{frac{k(cos( heta) - cos^2( heta))}{m}}$

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