Questão 25479

EFOMM 2018

Física

(Efomm 2018)

Na figura a seguir, temos um capacitor de placas paralelas de área A separadas pela distância d. Inicialmente, o dielétrico entre as placas é o ar e a carga máxima suportada é Qa. Para que esse capacitor suporte uma carga máxima Qb, foi introduzida uma placa de porcelana de constante dielétrica k e espessura $frac{d}{2}$ . Considerando que seja mantida a diferença de potencial entre as placas, determine a razão entre as cargas Qb e Qa

Gabarito:

Resolução:

Primeiramente podemos calcular a capacitância do sistema somente com ar da seguinte maneira:

$C_1= frac{varepsilon _o . A}{d}Rightarrow C_1=frac{Q_1}{V_{max}}Rightarrow frac{Q_1}{V_{max}}=frac{varepsilon _o . A}{d}Rightarrow V_{max}=frac{Q_1 .d}{varepsilon _o . A}$

Na próxima configuração porcelana mais ar, podemos considerar como se fossem dois capacitores em série, cada um com uma espessura de d/2, então vamos calcular a capacitância de cada um, sendo o C2 para a capacitância do "capacitor" com ar, e o C3 a capacitância do "capacitor" de porcelana:

$C_2= frac{varepsilon _o . A}{frac{d}{2}}Rightarrow c_2 =frac{2 . varepsilon _o . A}{d}$

$C_3= frac{K varepsilon _o . A}{frac{d}{2}}Rightarrow c_3 =frac{2K . varepsilon _o . A}{d}$

A capacitância equivalente desse sistema será:

$\ frac{1}{C_{eq}}=frac{1}{C_2}+frac{1}{C_3}Rightarrow frac{1}{C_{eq}}= frac{1}{frac{2 . varepsilon _o . A}{d}}+frac{1}{frac{2K . varepsilon _o . A}{d}}\ \ frac{1}{C_{eq}}= frac{Kd+d}{2k. varepsilon _o.A}Rightarrow C_{eq}= frac{2k. varepsilon _o.A}{d(K+1)}$

Sabendo que:

$\C_{eq}=frac{Qf}{V_{max}}Rightarrow Qf=C_{eq}.V_{max}Rightarrow Qf=frac{2k. varepsilon _o.A}{d(K+1)} cdot frac{Q_1 .d}{varepsilon _o . A}\ \ frac{Qf}{Q_1}=frac{2K}{(K+1)}$

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