Questão 21102

EFOMM 2017

Matemática

(EFOMM - 2017) Analise as afirmações que se seguem.

I. Se x, y, z são números reais positivos, então .

II. Se z é um número complexo de módulo unitário que satisfaz a condição z²ⁿ ≠ -1, sendo n um número inteiro positivo, então é um número real.

III. Se A_4,3 representa a matriz dos coeficientes de um sistema linear com quatro equações e três incógnitas, esse sistema será possível e determinado sempre que o posto desta matriz A for menor ou igual a 3.

Então pode-se dizer que

todas as afirmativas são verdadeiras.

todas as afirmativas são falsas.

somente as afirmativas I e II são verdadeiras.

somente as afirmativas I e III são verdadeiras.

somente as afirmativas II e III são verdadeiras.

Gabarito: somente as afirmativas I e II são verdadeiras.

Resolução:

I) verdadeira

este é um caso particular para a conhecida desigualdade entre as médias aritmética e geométrica:

"para $x_1,; x_2,;dots,;x_ngeq0$

$frac{x_1+x_2+dots+x_n}{n}geqsqrt[n]{x_1cdot x_2cdotdotscdot x_n}$

II) verdadeira

como ele diz que |z|=1:

$zoverline{z}=|z|^2=1\ \ Rightarrow z^noverline{z}^n=1$

portanto:

$frac{z^n}{1+z^{2n}}=frac{z^n}{z^noverline{z}^n+z^{2n}}=frac{1}{overline{z}^n+z^n}$

escrevendo $z= ext{cis } heta$ para algum θ :

$frac{1}{ ext{cis}(-n heta)+ ext{cis}(n heta) }=frac{1}{2cos(n heta)}inmathbb{R}$

III) falsa

basta ver que o seguinte sistema é claramente impossível e sua matriz de coeficientes tem posto 1:

$egin{cases} x+y+z=1\ x+y+z=2\ x+y+z=3\ x+y+z=4\ end{cases}$

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