Questão 8

EFOMM 2013

Matemática

Se $LARGE det = egin{vmatrix} cosx &senx \ seny& cosy end{vmatrix} = -frac{1}{3}$ , então o valor de $LARGE 3 sen (x+y)+tg (x+y)-sec (x+y)$ , para $LARGE frac{pi}{2} leq x+y leq pi$ , é igual a:

$LARGE 0$

$LARGE frac{1}{3}$

$LARGE 2$

$LARGE 3$

$LARGE frac{1}{2}$

Gabarito:

$LARGE 3$

Resolução:

O exercício nos da a seguinte informação:

$egin{vmatrix} cosx & senx\ seny & cosy end{vmatrix}=cosx*cosy-senx*seny=-frac{1}{3}$ .

A partir daí podemos usar o nosso conhecimento sobre o cos da soma de dois arcos:

$cosx*cosy-senx*seny=cos(x+y)$

Descobrindo assim que:

$cos(x+y)=-frac{1}{3}$
Usando a relação fundamental da trigonometria:

$sen^2(x+y)+frac{1}{9}=1$

$sen^2(x+y)=frac{8}{9}$

$sen(x+y)={frac{sqrt{8}}{3}}$

Sabemos que $tga=frac{sena}{cosa}$ , logo:

$tg(x+y)=frac{sen(x+y)}{cos(x+y)}=-frac{frac{sqrt{8}}{3}}{frac{1}{3}}=-sqrt{8}$

E também que: $seca=frac{1}{cosa}$

$sec(x+y)=-3$

Substituindo os valores na expressão temos que:

$sqrt{8}-sqrt{8}+3=3$

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