Questão 18

AFA 2016

Matemática

(AFA - 2016)

Considere no Plano de Argand-Gauss os números complexos $z = x + yi$ , onde e cujos afixos são os pontos $P(x , y) in mathbb{R}$ . Dada a equação $(z - 1 + i)^4 = 1$ , sobre os elementos que compõem seu conjunto solução, é INCORRETO afirmar que

apenas um deles é imaginário puro.

todos podem ser escritos na forma trigonométrica.

o conjugado do que possui maior argumento é 1 + 2i.

nem todos são números imaginários.

Gabarito:

o conjugado do que possui maior argumento é 1 + 2i.

Resolução:

1) Retirando a raiz quarta em ambos os lados:

$\ (z-1+i)^{ 4 }=1\ (z-1+i)=sqrt[4]{1}$

2) Usando a 2° fórmula de Moivre temos que:

$sqrt[4]{1} =egin{cases} 1 \ i \ -1 \ -i end{cases}$

3) Encontrando todas as soluções:

3.1)

$\ z_{ 1 }=1+1-i\ z_{ 1 }=2-i$

3.2)

$\ z_{ 2 }=i+1-i\ z_{ 2 }=1$

3.3)

$\ z_{ 3 }=-1+1-i\ z_{ 3 }=-i$

3.4)
$\ z_{ 4 }=-i+1-i\ z_{ 4 }=1-2i$

4) Analisando as alternativas:

4.1) Apenas um deles é imaginário puro.

Verdadeiro, pois apenas $z_3$ é imaginário puro

4.2) Todos podem ser escritos na forma trigonométrica.

Verdadeiro, pois todos os números podem ser escritos na forma trigonométrica.

4.3) O conjugado do que possui maior argumento é 1 + 2i.

4.3.1) O valor do argumento para cada um dos números complexos é:

$z_{ 1 }=2-i ightarrow -26,56^o$

$z_{ 2 }=1 ightarrow 0^o$

$z_{ 3 }=-i ightarrow -90^o$

$z_{ 4 }=1-2i ightarrow -63,43^o$

4.3.2) O que possui maior argumento é z₁ que é 333,44º

Logo, é falsa.

4.4) Nem todos são números imaginários.

Verdadeiro, pois $z_2$ não possui parte imaginária.

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