Questão 18

AFA 2013

Matemática

(AFA - 2013) Uma pirâmide regular ABCV, de base triangular ABC, é tal, que sua aresta lateral AV mede 3 cm. Sendo $small sqrt{5}$ cm a altura de tal pirâmide, a distância, em cm, de A à face BCV é igual a

$small frac{sqrt{30}}{2}$

$small sqrt{7}$

$small frac{sqrt{26}}{2}$

$small 2sqrt{2}$

Gabarito:

$small frac{sqrt{30}}{2}$

Resolução:

1) Para descobrir a distância de A até o plano BCV, precisamos primeiramente das seguintes medidas: AN, NV e VA.

Figura 1: vista da pirâmide.

Figura 2: vista de perfil.

Como O é o baricentro do triângulo da base, a medida de OA é $frac{2}{3}$ da medida da mediana (que é também a altura AN):

$OA=frac{2}{3}cdot AN$

OV mede $sqrt{5}$ . Logo:

$VA^2=AO^2+OV^2$

$9=OA^2+5$

$OA=2$ → $AN=3$

ii) De forma semelhante a (i), podemos encontrar a medida de VN:

Como O é o baricentro do triângulo da base, a medida de ON é $frac{1}{3}$ da medida da mediana (que é também a altura AN):

$ON=frac{1}{3}cdot AN=1$

OV mede $sqrt{5}$ . Logo:

$VN^2=ON^2+OV^2$

$VN^2=1+5=6$

$VN=sqrt{6}$

2) Voltando à figura de perfil:

Vamos encontrar o cosseno de $heta$ pela lei dos cossenos:

$VA^2=AN^2+VN^2-2ANcdot VN cos( heta)$

$3^2=3^2+sqrt{6}^2-2cdot 3cdot sqrt{6} cdot cos( heta)$

$9=9+6-6 sqrt{6} cdot cos( heta)$

$cos( heta)=frac{1}{sqrt{6}}$

Pela Identidade Fundamental da Trigonometria:

$sen^2( heta)=1-cos^2( heta)=1-left ( frac{1}{sqrt{6}} ight )^2$

$sen^2( heta)=frac{5}{6}$

$sen( heta)=frac{sqrt{30}}{6}$

Voltando à figura:

$sen( heta)=frac{AM}{AN}$

$AM=frac{sqrt{30}}{6}cdot 3$

$AM=frac{sqrt{30}}{2}$

Alternativa correta é Letra A.

Questões relacionadas

Questão 12

(AFA - 2013) O gráfico abaixo descreve uma função f : A B Analise as proposições que seguem. I. II. f é sobrejetora se III. Para inif...

Ver questão

Questão 11

(AFA - 2013) Dois corredores partem de um ponto ao mesmo tempo e se deslocam da seguinte forma: o primeiro é tal, que sua velocidade é dada em função da di...

Ver questão

Questão 15

(AFA - 2013) Uma piscina com ondas artificiais foi programada de modo que a altura da onda varie com o tempo de acordo com o modelo em que y =f(x) é a altura da onda, em metros, e...

Ver questão

Questão 13

(AFA - 2013) O gráfico de uma função polinomial do segundo grau y = f(x), que tem como coordenadas do vértice (5, 2) e passa pelo ponto (4, 3), também passar&aa...

Ver questão