Questão 17

AFA 2013

Matemática

(AFA - 2013) Um triângulo é tal que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética e as medidas de seus lados constituem uma progressão geométrica.

Dessa maneira, esse triângulo NÃO é:

Acutângulo

Equilátero

Obtusângulo

Regular

Gabarito:

Obtusângulo

Resolução:

Temos que os ângulos desse triângulo são $Theta -r, Theta , Theta +r$

Os lados são: $l, lq, lq^2$

Sabemos que:

$\ Theta -r + Theta + Theta +r = 180^o \ 3Theta = 180^o \ Theta = 60^o$

Utilizando a lei dos cossenos:

$\ (l cdot q)^2 = l^2 + (l cdot q^2)^2 - 2 cdot (l) cdot (l.q^2) cdot cos(60)$

$\ l^2q^2 = l^2 + l^2q^4 - l^2q^2$

Como l difere de 0, dividindo ambos os lados da equação por l²:

$\ q^2 = 1 + q^4 - q^2$

$\ q^4 - 2q^2 +1 = 0$

$\ (q^2 - 1)^2 = 0$

$\ q = 1$

Logo, temos um triângulo equilátero.

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