Questão 3

AFA 2013

Matemática

(AFA - 2013) A sequência é tal que os três primeiros termos formam uma progressão aritmética e os três últimos formam uma progressão geométrica.
Sendo essa sequência crescente, a soma de seus termos é:

$frac{92}{3}$

$frac{89}{3}$

$frac{86}{3}$

$frac{83}{3}$

Gabarito:

$frac{86}{3}$

Resolução:

A sequência é:

$x , 6,y,y+frac{8}{3}$

É dito que x, 6 e y formam uma PA. Assim, podemos dizer que 6 é média aritmética de x e y:

$6 = frac{x+y}{2}$ , então

$x+y = 12 (I)$

É dito também que 6, y e y + 8/3 é uma PG. Assim, podemos dizer que y é média geométrica de 6 e y + 8/3:

$y = sqrt{6 cdot (y+frac{8}{3})}$ então

$y = sqrt{6y + 16}$ , então

$y^{2} = 6y + 16$ , então

$y^{2} - 6y - 16 = 0$

Resolvendo essa equação com Bhaskara, temos que y = 8 ou y = -2. Mas se foi dito que a sequência é crescente, não podemos ter y = -2, pois -2 < 6.

Sendo assim, y = 8.

Substituindo y = 8 em (I), temos que:

$x+y = 12$ , então

$x+8 = 12$ , então

$x = 12-8 = 4$

Portanto a sequência é:

4; 6; 8; 32/3

Somando todos os termos, temos:

4 + 6 + 8 + 32/3 = 86/3

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