Questão 21

AFA 2009

Física

(AFA - 2009)

Na figura abaixo, uma partícula com carga elétrica positiva q e massa m é lançada obliquamente de uma superfície plana, com velocidade inicial de módulo v₀, no vácuo, inclinada de um ângulo θ em relação à horizontal.

Considere que, além do campo gravitacional de intensidade g, atua também um campo elétrico uniforme de módulo E. Pode-se afirmar que a partícula voltará à altura inicial de lançamento após percorrer, horizontalmente, uma distância igual a

$frac{v_{o}^{2}}{g}$ sen2 $Theta$ $left ( 1+frac{qE}{mg}tgTheta ight )$

$frac{v_{o}^{2}}{2g}$ sen $Theta$ $left ( cosTheta +frac{qE}{m}senTheta ight )$

$frac{v_{o}}{g}left ( sen2Theta +frac{qE}{mg} ight )$

$frac{v_{o}}{2g}left ( 1+frac{qE}{m}sen2Theta ight )$

Gabarito:

$frac{v_{o}^{2}}{g}$ sen2 $Theta$ $left ( 1+frac{qE}{mg}tgTheta ight )$

Resolução:

Na direção vertical, temos:

Desconsiderando o efeito de forças dissipativas, o tempo de retorno da partícula ao nível de lançamento corresponde ao dobro do tempo de subida ( $t_s$ ), assim:

$t_{retorno} = 2cdot t_s$

O temo de subida é calculado como:

$v_y=v_{0y} -gcdot t_s$

$v_y=0$

$t_s=frac{v_{0y}}{g}$

$v_{0y} = v_0cdot sen heta$

Logo:

$t_s=frac{ v_0cdot sen heta}{g}$

Com isso,

$t_{retorno} = 2cdot t_s = 2cdot frac{ v_0cdot sen heta}{g}$

Na direção horizontal, temos:

Nesta direção, a partícula é submetida a um campo elétrico uniforme dirigido para a direita que produzirá uma força elétrica, então:

$|vec F_{el}|=qcdot |vec E|$

Pelo fato desta ser a única força atuante nesta direção, ela será a força resultante na horizontal.

$|vec F_{Rx}|=mcdot a_x =|qcdot |vec E|$

Isolando $a_x$ :

$a_x =frac{qcdot |vec E|}{m}$

Como o campo elétrico é uniforme, $a_x$ é constante e o movimento horizontal da partícula é um MUV, assim, a distância horizontal é descrit como:

$Delta x = |vec v_{0x}|cdot t + frac{|vec a_x|cdot t^2}{2}$

$|vec v_{0x}|=|vec v_{0}|cdot cos heta$ e $t_{retorno} = 2cdot t_s = 2cdot frac{ v_0cdot sen heta}{g}$

$Delta x = vec v_{0}cdot cos hetacdotfrac{ 2v_0cdot sen heta}{g} + frac{qcdot vec E}{2m}cdot(frac{ 2v_0cdot sen heta}{g} )^2$

$Delta x = vec v_{0}cdot cos hetacdotfrac{ 2v_0cdot sen heta}{g} + frac{qcdot vec E}{2m}cdotfrac{ 4v_0^2cdot sen^2 heta}{g^2}$

Considerando a identidade trigonométrica do arco duplo, $sen(2 heta) = 2cdot sen hetacdot cos heta$ :

$Delta x = frac{ v_0^2cdot sen(2 heta)}{g} +frac{ v_0^2}{g}cdot frac{2cdot qcdot vec Ecdot sen^2 heta}{mg^2}$

$Delta x = frac{ v_0^2cdot sen(2 heta)}{g} +frac{ v_0^2}{g}cdot frac{2cdot qcdot vec Ecdot sen hetacdot sen heta cdot cos heta}{mcdot gcdot cos heta}$

$Delta x = frac{ v_0^2cdot sen(2 heta)}{g} +frac{ v_0^2cdot sen(2 heta)}{g} cdot egin{bmatrix} frac{qcdot vec Ecdot sen heta}{mcdot gcdot cos heta} end{bmatrix}$

$frac{ sen heta}{ cos heta}=tg heta$

$Delta x = frac{ v_0^2cdot sen(2 heta)}{g} +frac{ v_0^2cdot sen(2 heta)}{g} cdot egin{bmatrix} frac{qcdot vec Ecdot tg heta}{mcdot g} end{bmatrix}$

$Delta x = frac{ v_0^2cdot sen(2 heta)}{g} cdot egin{bmatrix} 1+ frac{qcdot vec Ecdot tg heta}{mcdot g} end{bmatrix}$

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