Questão 67199

AFA 1999

Matemática

(AFA - 1999) O valor de x², na figura abaixo, é

$b^2-frac{a^2}{4}$

$frac{a^4}{b^2}-frac{a^2}{4}$

$frac{b^2}{4}-frac{b^4}{a^2}$

$b^2-frac{b^4}{4a^2}$

Gabarito:

$b^2-frac{b^4}{4a^2}$

Resolução:

Podemos notar que o triângulo desta questão se trata de um triângulo isósceles, em que uma de suas alturas é x. Chamarei a outra de suas alturas de h, que devido ao fato do triângulo ser isósceles, será também mediana relativa ao lado b:

Assim, encontramos duas maneiras de calcular a área deste triângulo:

$A =frac{a cdot x}{2}$

$A =frac{b cdot h}{2}$

Podemos igualar as duas para encontrar um valor de x², mas antes, precisamos definir o valor de h:

Pelo triângulo retângulo formado pela altura:

$(frac{b}{2})^2 + h^2 = a^2$

$h^2 = a^2-frac{b^2}{4}$

Agora sim, igualando as diferentes formas de encontrar a área:

$frac{acdot x}{2} = frac{b cdot h}{2}$

$a cdot x = b cdot h$

Elevando os dois lados ao quadrado (pois é pedido x²):

$a^2x^2 = b^2 cdot h^2$

Substituindo h²:

$a^2x^2 = b^2 cdot (a^2 - frac{b^2}{4})$

$a^2x^2 =a^2b^2 - frac{b^4}{4}$

$x^2 =b^2 - frac{b^4}{4a^2}$

Alternativa D.