Questão 73932

AFA 1996

Matemática

(AFA - 96) O produto das raízes da equação $(sqrt{2+sqrt{3}})^x+(sqrt{2-sqrt{3}})^x=4$ pertence ao conjunto dos números:

A

naturais e é primo.

B

inteiros e é múltiplo de quatro.

C

complexos e é imaginário puro.

D

racionais positivos e é uma fração imprópria.

Gabarito:

inteiros e é múltiplo de quatro.

Resolução:

Note que:

$left ( sqrt{2+sqrt{3}} ight )^xcdotleft ( sqrt{2-sqrt{3}} ight )^x=1$

$left ( sqrt{2-sqrt{3}} ight )^x=frac{1}{left ( sqrt{2+sqrt{3}} ight )^x}$

$left ( sqrt{2-sqrt{3}} ight )^x=left (frac{1}{sqrt{2+sqrt{3}}} ight )^x$

Partindo da equação original temos:

$left ( sqrt{2+sqrt{3}} ight )^x+left ( sqrt{2-sqrt{3}} ight )^x=4$

$left ( sqrt{2+sqrt{3}} ight )^x+left (frac{1}{sqrt{2+sqrt{3}}} ight )^x=4$

Substituindo $left ( sqrt{2+sqrt{3}} ight )^x=t$ :

$t+frac{1}{t}=4$

$frac{t^2+1}{t}=4$

$t^2+1=4t$

$t^2-4t+1=0$

$t=frac{-(-4)pm sqrt{(-4)^2-4cdot1cdot1}}{2cdot1}$

$t=frac{4pm sqrt{12}}{2}=2pm sqrt{3}$

Retornando a variável original:

$left ( sqrt{2+sqrt{3}} ight )^x=2+ sqrt{3}$ (I) ou $left ( sqrt{2+sqrt{3}} ight )^x=2- sqrt{3}$ (II)

Para (I):

$left (left ( 2+sqrt{3} ight )^{frac{1}{2}} ight )^x=2+sqrt{3}$

$left ( 2+sqrt{3} ight )^{frac{x}{2}}=2+sqrt{3}$

$frac{x}{2}=1$

$x=2$

Para (II):

$left (left ( 2+sqrt{3} ight )^{frac{1}{2}} ight )^x=2-sqrt{3}$

$left ( 2+sqrt{3} ight )^{frac{x}{2}}=left (2+sqrt{3} ight )^{-1}$

$frac{x}{2}=-1$

$x=-2$

Calculando o produto entre as raízes:

$-2cdot2=-4$

Portanto, o produto das raízes pertence ao conjunto dos inteiros e é múltiplo de quatro.