Questão 6489

ACAFE 2017

Matemática

(Acafe 2017) Se $2+2:sen{ heta}+2:sen^{2}{ heta}+2:sen^{3}{ heta}+2:sen^{4}{ heta}+...=10$ , com 0 < θ < π/2, então | cos (2θ) | é igual a:

17/25.

3/5.

9/5.

7/25.

Gabarito:

7/25.

Resolução:

Simplificando a expressão $2+2:sen{ heta}+2:sen^{2}{ heta}+2:sen^{3}{ heta}+2:sen^{4}{ heta}+...=10$ , temos:

$1+sen heta +sen^{2} heta+sen^{3} heta+...=5$ . Trata-se de uma progressão geométrica de razão igual a $sen heta$ e termo inicial igual a 1.

A equação da soma de uma progressão geométrica infinita é igual a $S=frac{a_{1}}{1-q} ightarrow 5=frac{1}{1-sen heta} ightarrow 5-5sen heta=1 ightarrow$ $sen heta=frac{4}{5}$

Logo, $cos(2 heta)=cos^{2} heta-sen^{2} heta = 1-2sen^{2} heta ightarrow cos(2 heta)=1-2*frac{16}{25} ightarrow$ $cos(2 heta)=frac{-7}{25}$

Com isso, $|cos(2 heta)|=frac{7}{25}$ .

Gabarito: letra d)

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