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Questão 36362

FUVEST

(FUVEST 2017 - 2 FASE)

Considere a função f_a : [0,1] → [0,1] que depende de um parâmetro a $in$ ]1,2] , dada por

Sabe-se que existe um único ponto p_a $in$ $]frac{1}{2},1[$ tal que f_a(p_a) = p_a. Na figura a seguir, estão esboçados o gráfico de f_a e a reta de equação y = x.

a) Encontre uma expressão para o ponto p_a em função de a.

b) Mostre que f_a(f_a(1/2)) < 1/2 para todo a $in$ ]1,2].

c) Utilizando a desigualdade do item b), encontre a $in$ ]1,2] tal que f_a(f_a(f_a(1/2))) = p_a, em que p_a é o ponto encontrado no item a)

Gabarito:

Resolução:

Pelo gráfico, percebemos que em $x=P_a$ a função f é igual à função de reta y=x. Logo, podemos igualar as expressões:

$f(P_a)=a(1-P_a)=P_a$

$a-a cdot P_a=P_a$

$P_a=frac{a}{a+1}$

___________________________________________________

Primeiro, encontramos $f_a(frac{1}{2})$ e depois aplicamos o resultado disso em $f_a$ :

$f_a(frac{1}{2})=a cdot frac{1}{2}= frac{a}{2}$

$f_a(f_a(frac{1}{2}))= f_a(frac{a}{2})=a(1-frac{a}{2})=a- frac{a^2}{2}$

Queremos provar que isso é menor que 1/2 para qualquer a em ]1,2]. Logo:

$a- frac{a^2}{2}< frac{1}{2}$

Remanejando algebricamente:

$a^2-2a+1>0$

Para essa expressão, encontramos somente a raiz $a=1$ . Sendo assim, analisando o sinal da função, vemos que ela é positiva para qualquer valor de a (exceto a=1 que é sua raiz).

Logo, no intervalo $1<aleq 2$ a função é positiva e a inequação é verdadeira.

______________________________________________

Usando os resultados obtidos nos itens anteriores, temos:

$f_a(f_a(frac{1}{2}))=frac{-a^2}{2}+a$ e $P_a=frac{a}{a+1}$

$f_a(frac{-a^2}{2}+a) = frac{a}{a+1}$

$a cdot(frac{-a^2}{2}+a) = frac{a}{a+1}$

$(1+a)(-a^2+2a)=2$

$-a^3+a^2+2a-2=0$

$a^2(-a+1)+2(a-1)=0$

$-a^2(a-1)+2(a-1)=0$

$(-a^2+2)(a-1)=0$

$a-1=0Rightarrow a=1$

$-a^2+2=0Rightarrow a=sqrt{2}$

Como queremos $ain ]1,2]$ , então a' está fora do intervalo estudado. Portanto:

$a=sqrt2$

Questão 1779

FUVEST

(FUVEST - 2016 - 1ª FASE)

No contexto do cartum, a presença de numerosos animais de estimação permite que o juízo emitido pela personagem seja considerado

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Questão 1780

FUVEST

(FUVEST - 2016 - 1ª FASE)

Para obter o efeito de humor presente no cartum, o autor se vale, entre outros, do seguinte recurso:

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Questão 1794

FUVEST

(Fuvest 2016)

Omolu espalhara a bexiga na cidade. Era uma vingança contra a cidade dos ricos. Mas os ricos tinham a vacina, que sabia Omolu de vacinas? Era um pobre deus das florestas d’África. Um deus dos negros pobres. Que podia saber de vacinas? Então a bexiga desceu e assolou o povo de Omolu. Tudo que Omolu pôde fazer foi transformar a bexiga de negra em alastrim, bexiga branca e tola. Assim mesmo morrera negro, morrera pobre. Mas Omolu dizia que não fora o alastrim que matara. Fora o¹lazareto. Omolu só queria com o alastrim marcar seus filhinhos negros. O lazareto é que os matava. Mas as macumbas pediam que ele levasse a bexiga da cidade, levasse para os ricos latifundiários do sertão. Eles tinham dinheiro, léguas e léguas de terra, mas não sabiam tampouco da vacina. O Omolu diz que vai pro sertão. E os negros, os ogãs, as filhas e pais de santo cantam:

Ele é mesmo nosso pai
e é quem pode nos ajudar...

Omolu promete ir. Mas para que seus filhos negros não o esqueçam avisa no seu cântico de despedida:

Ora, adeus, ó meus filhinhos,
Qu’eu vou e torno a vortá...

E numa noite que os atabaques batiam nas macumbas, numa noite de mistério da Bahia, Omolu pulou na máquina da Leste Brasileira e foi para o sertão de Juazeiro. A bexiga foi com ele.

Jorge Amado, Capitães da Areia.

¹lazareto: estabelecimento para isolamento sanitário de pessoas atingidas por determinadas doenças.

Costuma-se reconhecer que Capitães da Areia pertence ao assim chamado “romance de 1930”, que registra importantes transformações pelas quais passava o Modernismo no Brasil, à medida que esse movimento se expandia e diversificava. No excerto, considerado no contexto do livro de que faz parte, constitui marca desse pertencimento

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Questão 1804

FUVEST

(Fuvest 2012)

Como não expressa visão populista nem elitista, o livro não idealiza os pobres e rústicos, isto é, não oculta o dano causado pela privação, nem os representa como seres desprovidos de vida interior; ao contrário, o livro trata de realçar, na mente dos desvalidos, o enlace estreito e dramático de limitação intelectual e esforço reflexivo.

Essas afirmações aplicam-se ao modo como, na obra:

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