Questão 29550

ENEM 2000

Matemática

(ENEM - 2000) Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhecem o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhecem. Em outras palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhecem o boato, tem-se:

R(x) = k . x . (P - x), onde k é uma constante positiva característica do boato.

Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44.000 pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a:

11.000.

22.000.

33.000.

38.000.

44.000.

Gabarito:

22.000.

Resolução:

Temos a função R(x) = k . x . (P - x) = k . x . P - k . x².

É dito na questão que são 44000 pessoas. A questão também fala "a máxima rapidez de propagação" e isto significa que a questão quer que achemos o número de poessoas que sabem do boato, ou seja, x, quando o máximo dessa função R(x) ocorre.

Em outras palavras, a questão quer a abscissa do vértice de R(x) que é dado pela fórmula:

$x_V=frac{-b}{2a}$

Considerando que a função R(x) = k . x . P - k . x² tem como coeficientes $a=-k$ e $b=kcdot P$ , conforme o modo tradicional de se ver equações do segundo grau, $ax^2+bx+c$ :

$x_V=frac{-b}{2a}=frac{-kcdot P}{2cdotleft(-k ight )}=frac{P}{2}$

Logo, quando R(x) é máximo, ou seja, a rapidez de propagação é máxima, o número de pessoas que sabem do boato é P/2 = 44000 / 2 = 22000.

A resposta é Letra B.